Ang isang Apollonian Gasket ay isang uri ng imahe ng fraktal na nabuo mula sa isang koleksyon ng patuloy na pag-urong na mga bilog na nilalaman sa loob ng isang solong malaking bilog. Ang bawat bilog sa Apollonian Gasket ay may padaplis sa mga katabing bilog - sa madaling salita, ang mga bilog sa Apollonian Gasket ay nakikipag-ugnay sa walang katapusang maliliit na puntos. Pinangalanang para sa Greek matematiko na si Apollonius ng Perga, ang ganitong uri ng bali ay maaaring iguhit (sa pamamagitan ng kamay o sa pamamagitan ng computer) sa makatuwirang antas ng pagiging kumplikado, na bumubuo ng isang maganda, kapansin-pansin na imahe. Tingnan ang Hakbang 1 sa ibaba upang makapagsimula.
Mga hakbang
Bahagi 1 ng 2: Maunawaan ang Mga Mahahalagang Konsepto
Upang maging ganap na malinaw, kung interesado ka lamang sa pagguhit ng isang Apollonian Gasket, hindi mahalaga na saliksikin ang mga prinsipyo sa matematika sa likod ng bali. Gayunpaman, kung nais mo ang isang mas malalim na pag-unawa sa Apollonian Gaskets, mahalagang maunawaan ang mga kahulugan ng maraming mga konsepto na gagamitin namin kapag tinatalakay ang mga ito.
Hakbang 1. Tukuyin ang mga pangunahing term
Ang mga sumusunod na term ay ginagamit sa mga tagubilin sa ibaba:
- Apollonian Gasket: Isa sa maraming mga pangalan para sa isang uri ng fraktal na binubuo ng isang serye ng mga bilog na nakapugad sa loob ng isang malaking bilog at tangent sa lahat ng iba pang kalapit. Tinatawag din itong "Soddy Circles" o "Kissing Circles".
- Radius ng isang bilog: Ang distansya mula sa gitnang punto ng isang bilog hanggang sa gilid nito. Karaniwang itinalaga ang variable r.
- Curvature ng isang bilog: Ang positibo o negatibong kabaligtaran ng radius, o ± 1 / r. Ang kurbada ay positibo kapag nakitungo sa panlabas na kurbada ng bilog at negatibo para sa panloob na kurbada.
- Tangent: Isang term na inilapat sa mga linya, eroplano, at mga hugis na intersect sa isang walang katapusang maliit na punto. Sa Apollonian Gaskets, tumutukoy ito sa katotohanan na ang bawat bilog ay nakakabit sa bawat kalapit na bilog sa isang punto lamang. Tandaan na walang intersection - ang mga tangent na hugis ay hindi nag-o-overlap.
Hakbang 2. Maunawaan ang Teorama ni Descartes
Ang Teorama ng Descartes ay isang pormula na kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng laki ng mga bilog sa isang Apollonian Gasket. Kung tinukoy namin ang mga curvature (1 / r) ng anumang tatlong mga bilog bilang a, b, at c, ayon sa pagkakabanggit, isinasaad ng Theorem na ang kurbada ng bilog (o mga bilog) na nakahawak sa lahat ng tatlong, na tutukuyin namin bilang d, ay: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Para sa aming mga layunin, sa pangkalahatan ay gagamitin lamang namin ang sagot na nakuha namin sa pamamagitan ng paglalagay ng plus sign sa harap ng square root (sa madaling salita,… + 2 (sqrt (…)). Sa ngayon, sapat na upang malaman na ang pagbabawas ang form ng equation ay may mga gamit nito sa iba pang mga kaugnay na gawain
Bahagi 2 ng 2: Pagbubuo ng Apollonian Gasket
Ang Apollonian Gaskets ay may anyo ng magagandang kaayusan sa bali na nagpapaliit ng mga bilog. Sa matematika, ang Apollonian Gaskets ay may walang katapusang kumplikado, ngunit, kung gumagamit ka ng isang programa sa pagguhit ng computer o tradisyunal na mga tool sa pagguhit, maaabot mo sa isang punto kung saan imposibleng gumuhit ng mga bilog na mas maliit. Tandaan na mas tumpak na iginuhit mo ang iyong mga lupon, mas makakakapasok ka sa iyong Gasket.
Hakbang 1. Ipunin ang iyong mga tool sa pagguhit ng digital o analog
Sa mga hakbang sa ibaba, gagawa kami ng aming sariling simpleng Apollonian Gasket. Posibleng iguhit ang Apollonian Gaskets sa pamamagitan ng kamay o sa computer. Sa alinmang kaso, gugustuhin mong makapagguhit ng perpektong mga bilog na bilog. Ito ay medyo mahalaga. Dahil ang bawat bilog sa isang Apollonian Gasket ay perpektong tangent sa mga bilog sa tabi nito, ang mga bilog na kahit na medyo hindi nalalagay ay maaaring "itapon" ang iyong pangwakas na produkto.
- Kung ang pagguhit ng Gasket sa isang computer, kakailanganin mo ng isang programa na nagbibigay-daan sa iyo upang madaling gumuhit ng mga bilog ng isang nakapirming radius mula sa isang gitnang punto. Ang Gfig, isang extension ng pagguhit ng vector para sa libreng programa sa pag-edit ng imahe na GIMP, ay maaaring magamit, pati na rin ang iba't ibang iba pang mga programa sa pagguhit (tingnan ang seksyon ng mga materyales para sa mga nauugnay na link). Marahil ay kakailanganin mo rin ang isang application ng calculator at alinman sa isang dokumento ng word processor o isang pisikal na notepad para sa pagkuha ng mga tala sa mga curvature at radii.
- Para sa pagguhit ng Gasket sa pamamagitan ng kamay, kakailanganin mo ang isang calculator (iminungkahing pang-agham o graphing), isang lapis, kumpas, pinuno (mas mabuti ang isang sukat na may mga markang millimeter, papel na grap, at isang notepad para sa pagkuha ng tala.
Hakbang 2. Magsimula sa isang malaking bilog
Madali ang iyong unang gawain - gumuhit lamang ng isang malaki, perpektong bilog na bilog. Kung mas malaki ang bilog, mas kumplikado ang iyong Gasket, kaya subukang gumawa ng isang bilog na kasing laki ng pinapayagan ng iyong papel o kasing laki na madali mong makikita sa isang window sa iyong programa sa pagguhit.
Hakbang 3. Lumikha ng isang mas maliit na bilog sa loob ng orihinal, tangent sa isang gilid
Susunod, gumuhit ng isa pang bilog sa loob ng una na mas maliit kaysa sa orihinal, ngunit medyo malaki pa rin. Nasa iyo ang eksaktong laki ng ikalawang bilog - walang tamang sukat. Gayunpaman, para sa aming mga hangarin, iguhit natin ang aming pangalawang bilog upang maabot ang eksaktong kalahati sa kabuuan ng aming malaking panlabas na bilog. Sa madaling salita, iguhit natin ang ating pangalawang bilog upang ang gitnang punto nito ay ang kalagitnaan ng radius ng malaking bilog.
Tandaan na sa Apollonian Gaskets, ang lahat ng mga bilog na hinahawakan ay naka-tangent sa bawat isa. Kung gumagamit ka ng isang kumpas upang iguhit ang iyong mga bilog sa pamamagitan ng kamay, muling likhain ang epektong ito sa pamamagitan ng paglalagay ng matalim na punto ng compass sa gitnang punto ng radius ng malaking panlabas na bilog, inaayos ang iyong lapis upang hawakan lamang nito ang gilid ng malaking bilog, pagkatapos ay iguhit ang iyong mas maliit na panloob na bilog
Hakbang 4. Gumuhit ng isang magkatulad na bilog na "sa kabuuan mula sa" mas maliit sa loob ng bilog
Susunod, gumuhit tayo ng isa pang bilog sa tapat ng ating una. Ang bilog na ito ay dapat na may tangent sa parehong malaking panlabas na bilog at ang mas maliit na panloob na bilog, na nangangahulugang ang iyong dalawang panloob na bilog ay hawakan sa eksaktong midpoint ng malaking panlabas na bilog.
Hakbang 5. Ilapat ang Teorama ng Descartes upang makita ang laki ng iyong mga susunod na bilog
Ihinto muna natin ang pagguhit. Ngayon na mayroon kaming tatlong mga bilog sa aming Gasket, maaari naming gamitin ang Theorem ng Descartes upang hanapin ang radius ng susunod na bilog na iguhit namin. Tandaan na ang Teorama ni Descartes ay d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), kung saan ang a, b, at c ay ang mga curvature ng iyong tatlong mga tangent na bilog at d ang kurba ng bilog na tangent sa lahat ng tatlo. Kaya, upang hanapin ang radius ng aming susunod na bilog, hanapin natin ang kurbada ng bawat bilog na mayroon tayo sa ngayon upang makita natin ang kurbada ng susunod na bilog, pagkatapos ay i-convert ito sa radius nito.
-
Tukuyin natin ang radius ng ating panlabas na bilog bilang
Hakbang 1.. Dahil ang iba pang mga bilog ay nasa loob ng isang ito, nakikipag-usap kami sa panloob na kurbada (kaysa sa panlabas na kurbada), at, dahil dito, alam namin na ang kurba nito ay negatibo. - 1 / r = -1/1 = -1. Ang kurbada ng malaking bilog ay - 1.
-
Ang radii ng mas maliit na bilog ay kalahati ng laki ng malaking bilog, o, sa madaling salita, 1/2. Dahil ang mga bilog na ito ay magkahawak sa bawat isa at ang malaking bilog sa kanilang labas na gilid, nakikipag-usap kami sa kanilang panlabas na kurbada, kaya't positibo ang kanilang mga curvature. 1 / (1/2) = 2. Ang mga curvature ng mas maliit na bilog ay pareho
Hakbang 2..
-
Ngayon, alam namin na ang isang = -1, b = 2, at c = 2 para sa equation ng Theorem ng aming Descartes. Malutas natin para sa d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Ang kurba ng aming susunod na bilog ay
Hakbang 3.. Dahil 3 = 1 / r, ang radius ng aming susunod na bilog ay 1/3.
Hakbang 6. Lumikha ng iyong susunod na hanay ng mga bilog
Gamitin ang radius na halaga na nahanap mo lamang upang iguhit ang iyong susunod na dalawang bilog. Tandaan na ang mga ito ay magiging tangent sa mga bilog na ang mga curvature na ginamit mo para sa a, b, at c sa Descartes's Theorem. Sa madaling salita, magiging tangent sila sa parehong orihinal at pangalawang bilog. Upang ang mga bilog na ito ay maging tangent sa lahat ng tatlong mga bilog, kakailanganin mong iguhit ang mga ito sa mga bukas na puwang sa tuktok at ilalim ng lugar sa loob ng iyong malaking orihinal na bilog.
Tandaan na ang radii ng mga bilog na ito ay magiging katumbas ng 1/3. Sukatin ang 1/3 pabalik mula sa gilid ng panlabas na bilog, pagkatapos ay iguhit ang iyong bagong bilog. Dapat itong maging tangent sa lahat ng tatlong mga nakapaligid na bilog
Hakbang 7. Magpatuloy sa fashion na ito upang magpatuloy sa pagdaragdag ng mga lupon
Sapagkat ang mga ito ay bali, ang Apollonian Gaskets ay walang hangganang kumplikado. Nangangahulugan ito na maaari kang magdagdag ng mas maliit at mas maliit na mga lupon sa nilalaman ng iyong puso. Limitado ka lamang maging ang katumpakan ng iyong mga tool (o, kung gumagamit ka ng isang computer, ang kakayahan ng iyong programa sa pagguhit na "mag-zoom in"). Ang bawat bilog, gaano man kaliit, ay dapat na tangent sa tatlong iba pang mga bilog. Upang iguhit ang bawat kasunod na bilog sa iyong Gasket, i-plug ang mga curvature ng tatlong bilog na ito ay magiging tangent sa Descartes's Theorem. Pagkatapos, gamitin ang iyong sagot (na kung saan ay ang radius ng iyong bagong bilog) upang iguhit nang wasto ang iyong bagong bilog.
- Tandaan na ang Gasket na pinili namin upang iguhit ay simetriko, kaya ang radius ng isang bilog ay pareho sa katumbas na bilog na "sa tapat nito". Gayunpaman, alamin na hindi lahat ng Apollonian Gasket ay simetriko.
-
Talakayin natin ang isa pang halimbawa. Sabihin nating, pagkatapos ng pagguhit ng aming huling hanay ng mga bilog, nais na ngayong iguhit ang mga bilog na tangent sa aming ikatlong hanay, aming pangalawang hanay, at ang aming malaking panlabas na bilog. Ang mga kurba ng mga bilog na ito ay 3, 2, at -1, ayon sa pagkakabanggit. I-plug natin ang mga numerong ito sa Teorama ng Descartes, magtakda ng isang = -1, b = 2, at c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Mayroon kaming dalawang sagot! Gayunpaman, dahil alam namin na ang aming bagong bilog ay magiging mas maliit kaysa sa alinman sa mga bilog na ito ay naiilaw, isang kurbada lamang ng
Hakbang 6. (at samakatuwid isang radius ng 1/6) may katuturan.
- Ang aming iba pang sagot, 2, ay talagang tumutukoy sa hypothetical circle sa kabilang panig ng tangent point ng aming pangalawa at pangatlong bilog. Ang bilog na ito ay tangent sa pareho ng mga bilog na ito at sa malaking panlabas na bilog, ngunit tatawid ito sa mga bilog na nakalabas na namin, upang maaari naming itong balewalain.
Hakbang 8. Para sa isang hamon, subukang gumawa ng isang hindi simetriko na Apollonian Gasket sa pamamagitan ng pagbabago ng laki ng iyong pangalawang bilog
Ang lahat ng mga Apollonian Gaskets ay nagsisimula nang pareho - na may isang malaking panlabas na bilog na gumaganap bilang gilid ng bali. Gayunpaman, walang dahilan na ang iyong pangalawang bilog ay kinakailangang magkaroon ng 1/2 ang radius ng una - pinili lamang naming gawin ito sa itaas dahil simple at madaling maunawaan. Para sa kasiyahan, subukang simulan ang isang bagong Gasket na may pangalawang bilog na may iba't ibang laki - hahantong ito sa mga kapanapanabik na bagong mga paraan ng paggalugad.
