Paano Mag-grap ng isang Quadratic Equation: 10 Hakbang (na may Mga Larawan)

2024 May -akda: Robert Blare | [email protected]. Huling binago: 2024-02-02 02:08

Kapag graphed, quadratic equation ng form palakol² + bx + c o a (x - h)² + k magbigay ng isang makinis na hugis U o isang baligtad na hubog na hugis U na tinatawag na parabola. Ang pagkuha ng isang parisukat na equation ay isang bagay ng paghahanap ng tuktok, direksyon, at, madalas, ang x at y intercepts nito. Sa mga kaso ng medyo simpleng mga quadratic equation, maaari rin itong sapat upang mag-plug sa isang saklaw ng x na halaga at magbalangkas ng isang curve batay sa mga nagresultang puntos. Tingnan ang Hakbang 1 sa ibaba upang makapagsimula.

Mga hakbang

Hakbang 1. Tukuyin kung aling anyo ng quadratic equation ang mayroon ka

Ang quadratic equation ay maaaring nakasulat sa tatlong magkakaibang anyo: ang karaniwang form, vertex form, at ang quadratic form. Maaari mong gamitin ang alinman sa form upang mag-grap ng isang quadratic equation; ang proseso para sa graphing bawat isa ay bahagyang naiiba. Kung gumagawa ka ng isang problema sa takdang aralin, karaniwang matatanggap mo ang problema sa isa sa dalawang form na ito - sa madaling salita, hindi ka mapipili, kaya pinakamahusay na maunawaan ang pareho. Ang dalawang anyo ng quadratic equation ay:

• Karaniwang form.

  Sa form na ito, ang quadratic equation ay nakasulat bilang: f (x) = ax² + bx + c kung saan ang a, b, at c ay totoong mga numero at ang a ay hindi katumbas ng zero.

  Halimbawa, dalawang pamantayan ng form na quadratic equation ay f (x) = x² + 2x + 1 at f (x) = 9x² + 10x -8.

• Form ng Vertex.

  Sa form na ito, ang quadratic equation ay nakasulat bilang: f (x) = a (x - h)² + k kung saan ang a, h, at k ay totoong mga numero at ang a ay hindi katumbas ng zero. Ang pormang Vertex ay napangalanan dahil direktang binibigyan ka ng h at k ng tuktok (gitnang punto) ng iyong parabola sa puntong (h, k).

  Dalawang mga equation na form ng vertex ay f (x) = 9 (x - 4)² + 18 at -3 (x - 5)² + 1

• Upang mai-graph ang alinman sa mga ganitong uri ng mga equation, kailangan muna nating hanapin ang vertex ng parabola, na kung saan ay ang gitnang point (h, k) sa "tip" ng curve. Ang mga coordinate ng vertex sa karaniwang form ay ibinibigay ng: h = -b / 2a at k = f (h), habang sa vertex form, h at k ay tinukoy sa equation.

Hakbang 2. Tukuyin ang iyong mga variable

Upang malutas ang isang quadratic na problema, ang mga variable na a, b, at c (o a, h, at k) ay karaniwang kailangang tukuyin. Ang isang average na problema sa algebra ay magbibigay sa iyo ng isang quadratic equation na may mga variable na napunan, kadalasan sa karaniwang form, ngunit kung minsan sa vertex form.

• Halimbawa, para sa karaniwang form equation f (x) = 2x² + 16x + 39, mayroon kaming isang = 2, b = 16, at c = 39.
• Para sa vertex form equation f (x) = 4 (x - 5)² + 12, mayroon kaming isang = 4, h = 5, at k = 12.

Hakbang 3. Kalkulahin h

Sa mga equation form ng vertex, ang iyong halaga para sa h ay naibigay na, ngunit sa karaniwang mga equation ng form, dapat itong kalkulahin. Tandaan na, para sa karaniwang mga equation form, h = -b / 2a.

• Sa aming karaniwang halimbawa ng form (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Paglutas, nakita namin na h = - 4.
• Sa aming halimbawa ng form na vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), alam natin ang h = 5 nang hindi gumagawa ng anumang matematika.

Hakbang 4. Kalkulahin k

Tulad ng h, k ay kilala na sa mga equation ng vertex form. Para sa karaniwang mga equation form, tandaan na k = f (h). Sa madaling salita, maaari kang makahanap ng k sa pamamagitan ng pagpapalit ng bawat halimbawa ng x sa iyong equation sa halagang nahanap mo lamang para sa h.

• Natukoy namin sa aming karaniwang halimbawa ng form na h = -4. Upang makahanap ng k, nilulutas namin ang aming equation sa aming halaga para sa pagpapalit ng x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hakbang 7.

• Sa aming halimbawa ng form na vertex, muli, alam namin ang halaga ng k (na kung saan ay 12) nang hindi kinakailangang gumawa ng anumang matematika.

Hakbang 5. I-plot ang iyong vertex

Ang vertex ng iyong parabola ang magiging point (h, k) - h na tumutukoy sa x coordinate, habang tinutukoy ng k ang y coordinate. Ang vertex ay ang gitnang punto sa iyong parabola - alinman sa ilalim ng isang "U" o sa tuktok ng isang baligtad na "U." Ang pag-alam sa vertex ay isang mahalagang bahagi ng graphing ng isang tumpak na parabola - madalas, sa gawain sa paaralan, ang pagtukoy ng vertex ay isang kinakailangang bahagi ng isang katanungan.

• Sa aming karaniwang halimbawa ng form, ang aming vertex ay nasa (-4, 7). Kaya, ang aming parabola ay magtataas ng 4 na puwang sa kaliwa ng 0 at 7 na puwang sa itaas (0, 0). Dapat nating balangkasin ang puntong ito sa aming grap, siguraduhin na markahan ang mga coordinate.
• Sa aming halimbawa ng form na vertex, ang aming vertex ay nasa (5, 12). Dapat nating balangkasin ang isang puntong 5 puwang sa kanan at 12 puwang sa itaas (0, 0).

Hakbang 6. Iguhit ang axis ng parabola (opsyonal)

Ang axis ng isang parabola ng mahusay na proporsyon ay ang linya na tumatakbo sa gitna nito na perpektong hinahati sa kalahati. Sa kabila ng axis na ito, ang kaliwang bahagi ng parabola ay makikita ang kanang bahagi. Para sa mga quadratics ng form ax² + bx + c o a (x - h)² + k, ang axis ay isang linya na kahilera sa y-axis (sa madaling salita, perpektong patayo) at dumadaan sa vertex.

Sa kaso ng aming karaniwang halimbawa ng form, ang axis ay isang linya na parallel sa y-axis at dumadaan sa point (-4, 7). Bagaman hindi ito bahagi ng parabola mismo, ang gaanong pagmamarka ng linyang ito sa iyong grap ay maaaring tulungan kang makita kung paano ang kurba ng parabola ay simetriko

Hakbang 7. Hanapin ang direksyon ng pagbubukas

Matapos maisip ang tuktok at axis ng parabola, susunod na kailangan nating malaman kung ang parabola ay bubukas paitaas o pababa. Sa kabutihang palad, madali ito. Kung positibo ang "a", ang parabola ay magbubukas paitaas, habang kung ang "a" ay negatibo, ang parabola ay magbubukas pababa (ibig sabihin, babaligtarin ito.)

• Para sa aming karaniwang halimbawa ng form (f (x) = 2x² + 16x + 39), alam namin na mayroon kaming parabola na pambungad paitaas dahil, sa aming equation, a = 2 (positibo).
• Para sa aming halimbawa ng form ng vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), alam namin na mayroon din kaming parabola na nagbubukas paitaas dahil ang isang = 4 (positibo).

Hakbang 8. Kung kinakailangan, hanapin at lagyan ng balangkas x pagharang

Kadalasan, sa gawain sa paaralan, hihilingin sa iyo na maghanap ng x-intercepts ng parabola (na alinman sa isa o dalawang puntos kung saan natutugunan ng parabola ang x axis). Kahit na hindi mo sila mahahanap, ang dalawang puntong ito ay maaaring maging napakahalaga para sa pagguhit ng isang tumpak na parabola. Gayunpaman, hindi lahat ng parabolas ay may x-intercepts. Kung ang iyong parabola ay may isang vertex na bubukas paitaas at may isang vertex sa itaas ng x axis o kung magbubukas ito pababa at may isang vertex sa ibaba ng x axis, wala itong x intercepts. Kung hindi man, malutas ang iyong x intercepts sa isa sa mga sumusunod na pamamaraan:

• Itakda lamang ang f (x) = 0 at lutasin ang equation. Ang pamamaraang ito ay maaaring gumana para sa simpleng mga quadratic equation, lalo na sa vertex form, ngunit patunayan nang labis na mahirap para sa mas kumplikado. Tingnan sa ibaba para sa isang halimbawa

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 at 13 ang x-intercepts ng parabola.

• I-factor ang iyong equation. Ang ilang mga equation sa palakol² Ang form na + bx + c ay madaling maiakma sa form (dx + e) (fx + g), kung saan dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, at e × g = c. Sa kasong ito, ang iyong x intercepts ay ang mga halaga para sa x na gumagawa ng alinman sa term sa panaklong = 0. Halimbawa:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Sa kasong ito, ang iyong tanging x intercept ay -1 sapagkat ang setting ng x pantay sa -1 ay gagawing alinman sa mga tinukoy na termino sa panaklong na pantay na 0.

• Gamitin ang quadratic formula. Kung hindi mo madaling malutas ang iyong x intercepts o factor ang iyong equation, gumamit ng isang espesyal na equation na tinatawag na quadratic formula na idinisenyo para sa mismong hangaring ito. Kung hindi pa ito, makuha ang iyong equation sa form ax² + bx + c, pagkatapos isaksak ang a, b, at c sa pormula x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Tandaan na madalas itong nagbibigay sa iyo ng dalawang mga sagot para sa x, na kung saan ay OK - nangangahulugan lamang ito na ang iyong parabola ay may dalawang x intercepts. Tingnan sa ibaba para sa isang halimbawa:

  • -5x² + 1x + 10 ay naka-plug sa quadratic formula tulad ng sumusunod:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
  • x = (13.18 / -10) at (-15.18 / -10). Ang x intercepts ng parabola ay humigit-kumulang na x = - 1.318 at 1.518
  • Ang aming dating karaniwang halimbawa ng form, 2x² + 16x + 39 ay naka-plug sa quadratic formula tulad ng sumusunod:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Dahil imposible ang paghahanap ng square root ng isang negatibong numero, alam natin iyon walang x maharang umiiral para sa partikular na parabola na ito.

Hakbang 9. Kung kinakailangan, hanapin at balangkas ang pagharang

Kahit na madalas na hindi kinakailangan upang makahanap ng intercept ng y ng equation (ang puntong dumadaan ang parabola sa y axis), maaari kang kailanganin sa kalaunan, lalo na kung nasa paaralan ka. Medyo madali ang prosesong ito - itakda lamang ang x = 0, pagkatapos ay lutasin ang iyong equation para sa f (x) o y, na magbibigay sa iyo ng y halaga kung saan dumadaan ang iyong parabola sa y axis. Hindi tulad ng x intercepts, ang mga karaniwang parabolas ay maaari lamang magkaroon ng isang y intercept. Tandaan - para sa karaniwang mga equation form, ang y intercept ay nasa y = c.

• Halimbawa, alam namin ang aming quadratic equation 2x² Ang + 16x + 39 ay may y intercept sa y = 39, ngunit maaari mo ring makita ang mga sumusunod:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Ang intercept ng parabola ay nasa y = 39.

    Tulad ng nabanggit sa itaas, ang y intercept ay nasa y = c.

• Ang aming vertex form equation 4 (x - 5)² Ang + 12 ay may y intercept na maaaring matagpuan tulad ng sumusunod:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Ang intercept ng parabola ay nasa y = 112.

Hakbang 10. Kung kinakailangan, magbalangkas ng mga karagdagang puntos, pagkatapos ay grap

Dapat mayroon ka na ngayong isang vertex, direksyon, x intercept (s), at, posibleng, isang y intercept para sa iyong equation. Sa puntong ito, maaari mong subukang iguhit ang iyong parabola gamit ang mga puntong mayroon ka bilang isang gabay, o maaari kang makahanap ng higit pang mga point upang "punan" ang iyong parabola upang ang kurso na iguhit mo ay mas tumpak. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay simpleng mag-plug sa ilang x halaga sa magkabilang panig ng iyong vertex, pagkatapos ay lagyan ng balangkas ang mga puntong ito gamit ang mga halagang nakuha mo. Kadalasan, hihilingin sa iyo ng mga guro na kumuha ng isang tiyak na bilang ng mga puntos bago mo iguhit ang iyong parabola.

• Balikan natin ang equation x² + 2x + 1. Alam na natin ang nag-iisa nitong x intercept ay sa x = -1. Dahil hinahawakan lamang nito ang x intercept sa isang punto, mahihinuha natin na ang vertex nito ay ang x intercept nito, na nangangahulugang ang vertex nito ay (-1, 0). Kami ay may isang punto lamang para sa parabola na ito - hindi halos sapat upang gumuhit ng magandang parabola. Maghanap tayo ng ilan pa upang matiyak na gumuhit kami ng isang tumpak na grap.

  • Hanapin natin ang mga halagang y para sa mga sumusunod na x halaga: 0, 1, -2, at -3.
  • Para sa 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Ang aming punto ay (0, 1).

  • Para sa 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Ang aming punto ay (1, 4).

  • Para sa -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Ang aming punto ay (-2, 1).

  • Para sa -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Ang aming punto ay (-3, 4).

  • I-plot ang mga puntong ito sa grapiko at iguhit ang iyong hugis na U curve. Tandaan na ang parabola ay perpektong simetriko - kapag ang iyong mga puntos sa isang gilid ng parabola ay namamalagi sa buong mga numero, maaari mong mai-save ang iyong sarili sa ilang gawain sa pamamagitan lamang ng pagsasalamin ng isang naibigay na punto sa kabuuan ng axis ng parabola ng simetrya upang hanapin ang kaukulang punto sa kabilang panig ng parabola.

Video - Sa pamamagitan ng paggamit ng serbisyong ito, maaaring ibahagi ang ilang impormasyon sa YouTube

Mga Tip

• Tandaan na sa f (x) = ax² + bx + c, kung ang b o c pantay na zero, ang mga numerong iyon ay nawawala. Halimbawa, 12x² + 0x + 6 ay nagiging 12x² + 6 dahil 0x ay 0.
• Mga bilog na numero o gumamit ng mga praksyon tulad ng sinasabi sa iyo ng iyong guro sa algebra. Tutulungan ka nitong mai-grap nang maayos ang iyong mga quadratic equation.