Ang parabola ay isang grap ng isang quadratic function at ito ay isang makinis na hugis na "U" na curve. Ang mga parabolas ay simetriko din na nangangahulugang maaari silang nakatiklop kasama ang isang linya upang ang lahat ng mga puntos sa isang gilid ng linya ng tiklod ay sumabay sa mga kaukulang puntos sa kabilang panig ng linya ng tiklop. Ang fold line, na tinatawag na axis ng symmetry, ay ang patayong linya na dumadaan sa verex. Ang anumang punto sa parabola ay equidistant mula sa isang nakapirming punto (ang pokus) at isang nakapirming tuwid na linya (ang directrix). Upang ma-graph ang isang parabola, kailangan mong hanapin ang tuktok pati na rin maraming mga puntos sa magkabilang panig ng vertex upang markahan ang landas na naglalakbay ang mga puntos.
Mga hakbang
Bahagi 1 ng 2: Pagkuha ng Parabola
Hakbang 1. Maunawaan ang mga bahagi ng isang parabola
Maaari kang mabigyan ng ilang impormasyon bago ang simula, at ang pag-alam sa terminolohiya ay makakatulong sa iyo na maiwasan ang anumang hindi kinakailangang mga hakbang. Narito ang mga bahagi ng parabola na kakailanganin mong malaman:
- Ang pokus Ang isang nakapirming punto sa loob ng parabola na ginagamit para sa pormal na kahulugan ng curve.
- Ang directrix. Isang maayos, tuwid na linya. Ang parabola ay ang lokus (serye) ng mga puntos kung saan ang anumang naibigay na punto ay pantay na distansya mula sa pokus at sa directrix. (Tingnan ang diagram sa itaas.)
- Ang axis ng mahusay na proporsyon. Ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa turn point ("vertex") ng parabola at equidistant mula sa kaukulang mga puntos sa dalawang braso ng parabola.
- Ang kaitaasan. Ang puntong kung saan ang axis ng symmetry ay tumatawid sa parabola ay tinatawag na vertex ng parabola. Kung ang parabola ay bubukas paitaas o sa kanan, ang tuktok ay isang minimum na point ng curve. Kung magbubukas ito pababa o sa kaliwa, ang vertex ay isang maximum na point.
Hakbang 2. Alamin ang equation ng isang parabola
Ang pangkalahatang equation ng isang parabola ay y = ax2+ bx + c. Maaari rin itong maisulat sa mas pangkalahatang pormang y = a (x - h) ² + k, ngunit dito kami magtutuon sa unang anyo ng equation.
- Kung positibo ang coefficient a sa equation, ang parabola ay bubukas pataas (sa isang patayo na oriented na parabola), tulad ng letrang "U", at ang vertex nito ay isang minimum point. Kung ang a ay negatibo, ang parabola ay bubukas pababa at may isang vertex sa maximum point. Kung nagkakaproblema ka sa pag-alala nito, isipin ito sa ganitong paraan: ang isang equation na may positibong isang halaga ay mukhang isang ngiti; isang equation na may negatibong isang halaga ay mukhang isang nakasimangot.
- Sabihin nating mayroon kang sumusunod na equation: y = 2x2 -1. Ang parabola na ito ay mahuhubog tulad ng isang "U" dahil ang halaga ng (2) ay positibo.
- Kung ang equation ay may isang parisukat na y term sa halip na isang parisukat na x term, ang parabola ay oriented pahalang at bukas na patagilid, sa kanan o kaliwa, tulad ng isang "C" o isang paatras na "C." Halimbawa, ang parabola y2 Ang = x + 3 ay bubukas sa kanan, tulad ng isang "C."
Hakbang 3. Hanapin ang axis ng mahusay na proporsyon
Tandaan na ang axis ng mahusay na proporsyon ay ang tuwid na linya na dumadaan sa turn point (vertex) ng parabola. Sa kaso ng isang patayong parabola (pagbubukas pataas o pababa), ang axis ay kapareho ng x coordinate ng vertex, na kung saan ay ang x-halaga ng punto kung saan ang axis ng symmetry ay tumatawid sa parabola. Upang hanapin ang axis ng mahusay na proporsyon, gamitin ang formula na ito: x = -b / 2a.
- Sa halimbawa sa itaas (y = 2x² -1), a = 2 at b = 0. Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang axis ng mahusay na proporsyon sa pamamagitan ng pag-plug sa mga numero: x = -0 / (2) (2) = 0.
- Sa kasong ito ang axis ng symmetry ay x = 0 (na kung saan ay ang y-axis ng coordinate na eroplano).
Hakbang 4. Hanapin ang tuktok
Kapag alam mo ang axis ng mahusay na proporsyon, maaari mong i-plug ang halagang iyon para sa x upang makuha ang koordinasyon. Ang dalawang mga coordinate na ito ay magbibigay sa iyo ng vertex ng parabola. Sa kasong ito, mai-plug mo ang 0 sa 2x2 -1 upang makuha ang koordinasyon. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Ang vertex ay (0, -1), at ang parabola ay tumatawid sa y-axis sa -1.
Ang mga coordinate ng vertex ay kilala minsan bilang (h, k). Sa kasong ito h ay 0, at ang k ay -1. Ang equation para sa parabola ay maaaring nakasulat sa form y = a (x - h) ² + k. Sa form na ito ang vertex ay ang point (h, k), at hindi mo kailangang gumawa ng anumang matematika upang hanapin ang vertex na lampas sa pagbibigay ng tamang kahulugan sa grap
Hakbang 5. Mag-set up ng isang talahanayan na may napiling mga halagang x
Lumikha ng isang talahanayan na may mga partikular na halaga ng x sa unang haligi. Ang talahanayan na ito ay magbibigay sa iyo ng mga coordinate na kailangan mo upang ma-graph ang equation.
- Ang gitnang halaga ng x ay dapat na axis ng mahusay na proporsyon sa kaso ng isang "patayong" parabola.
- Dapat mong isama ang hindi bababa sa dalawang mga halaga sa itaas at sa ibaba ng gitnang halaga para sa x sa talahanayan alang-alang sa mahusay na proporsyon.
- Sa halimbawang ito, ilagay ang halaga ng axis ng symmetry (x = 0) sa gitna ng talahanayan.
Hakbang 6. Kalkulahin ang mga halaga ng kaukulang y-coordinate
Palitan ang bawat halaga ng x sa equation ng parabola, at kalkulahin ang mga katumbas na halaga ng y. Ipasok ang mga kinakalkulang halagang ito ng y sa talahanayan. Sa halimbawang ito, ang mga halaga ng y ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
- Para sa x = -2, ang y ay kinakalkula bilang: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Para sa x = -1, y ay kinakalkula bilang: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Para sa x = 0, ang y ay kinakalkula bilang: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Para sa x = 1, ang y ay kinakalkula bilang: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Para sa x = 2, y ay kinakalkula bilang: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Hakbang 7. Ipasok ang kinakalkula na mga halaga ng y sa talahanayan
Ngayon na natagpuan mo ang hindi bababa sa limang mga pares ng koordinasyon para sa parabola, handa ka nang i-grap ito. Batay sa iyong trabaho, mayroon ka na ngayong mga sumusunod na puntos: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Tandaan na ang parabola ay nakalarawan (simetriko) na may paggalang sa axis ng mahusay na proporsyon. Nangangahulugan ito na ang y mga coordinate ng mga puntos nang direkta sa buong axis ng mahusay na proporsyon mula sa bawat isa ay magiging pareho. Ang mga y-coordinate para sa x-coordinate -2 at +2 ay parehong 7; ang y-coordinate para sa x-coordinate -1 at +1 ay parehong 1, at iba pa.
Hakbang 8. I-plot ang mga puntos ng talahanayan sa koordinasyong eroplano
Ang bawat hilera ng talahanayan ay bumubuo ng isang pares ng coordinate (x, y) sa eroplano na coordinate. I-grap ang lahat ng mga puntos gamit ang mga coordinate na ibinigay sa talahanayan.
- Ang x-axis ay pahalang; ang y-axis ay patayo.
- Ang mga positibong numero sa y-axis ay nasa itaas ng point (0, 0), at ang mga negatibong numero sa y-axis ay nasa ibaba ng point (0, 0).
- Ang mga positibong numero sa x-axis ay nasa kanan ng point (0, 0), at ang mga negatibong numero sa x-axis ay nasa kaliwa ng point (0, 0).
Hakbang 9. Ikonekta ang mga puntos
Upang i-graph ang parabola, ikonekta ang mga puntos na nakalunsad sa nakaraang hakbang. Ang graph sa halimbawang ito ay magiging hitsura ng isang U. Ikonekta ang mga puntos gamit ang bahagyang hubog (sa halip na tuwid) na mga linya. Lilikha ito ng pinaka-tumpak na imahe ng parabola (na hindi bababa sa bahagyang hubog sa buong haba nito). Sa magkabilang dulo ng parabola maaari kang gumuhit ng mga arrow na itinuturo ang layo mula sa vertex kung nais mo. Ito ay magpapahiwatig na ang parabola ay magpapatuloy nang walang katiyakan.
Bahagi 2 ng 2: Paglilipat ng Grap ng isang Parabola
Kung nais mo ng isang shortcut para sa paglilipat ng isang parabola nang hindi kinakailangang hanapin muli ang tuktok nito at muling paglalagay ng maraming mga puntos dito, kakailanganin mong maunawaan kung paano basahin ang equation ng isang parabola at malaman na ilipat ito patayo o pahalang. Magsimula sa pangunahing parabola: y = x2. Mayroon itong vertex nito sa (0, 0) at magbubukas paitaas. Kabilang sa mga puntos dito (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), at (2, 4). Maaari mong ilipat ang isang parabola batay sa equation nito.
Hakbang 1. Paglipat ng isang parabola paitaas
Isaalang-alang ang equation y = x2 +1. Inililipat nito ang orihinal na parabola paitaas na 1 yunit. Ang vertex ay ngayon (0, 1) sa halip na (0, 0). Mapapanatili nito ang eksaktong hugis ng orihinal na parabola, ngunit ang bawat y-coordinate ay ililipat paitaas ng 1 yunit. Kaya, sa halip na (-1, 1) at (1, 1), balangkas namin (-1, 2) at (1, 2).
Hakbang 2. Paglipat ng isang parabola pababa
Kunin ang equation y = x2 -1. Inililipat namin ang orihinal na parabola pababang 1 yunit, upang ang vertex ay ngayon (0, -1) sa halip na (0, 0). Magkakaroon pa rin ng parehong hugis ng orihinal na parabola, ngunit ang bawat y-coordinate ay ililipat pababa sa 1 yunit. Kaya, sa halip na (-1, 1) at (1, 1), halimbawa, binabalangkas namin ang (-1, 0) at (1, 0).
Hakbang 3. Paglipat ng isang parabola sa kaliwa
Isaalang-alang ang equation y = (x + 1)2. Inililipat nito ang orihinal na parabola isang yunit sa kaliwa. Ang vertex ay ngayon (-1, 0) sa halip na (0, 0). Pinapanatili nito ang hugis ng orihinal na parabola, ngunit ang bawat x-coordinate ay inililipat sa kaliwang isang yunit. Sa halip na (-1, 1) at (1, 1), halimbawa, binabalangkas namin ang (-2, 1) at (0, 1).
Hakbang 4. Paglipat ng isang parabola sa kanan
Isaalang-alang ang equation y = (x - 1)2. Ito ang orihinal na parabola na inilipat ang isang yunit sa kanan. Ang vertex ay ngayon (1, 0) sa halip na (0, 0). Pinapanatili nito ang hugis ng orihinal na parabola, ngunit ang bawat x-coordinate ay ililipat sa tamang isang yunit. Sa halip na (-1, 1) at (1, 1), halimbawa, binabalangkas namin ang (0, 1) at (2, 1).
